从1到n一共n个数进入堆栈，有几种出栈顺序？

方法1⌗

思路：用第一个元素在出栈顺序中的位置作为分割，降问题简化为子问题，递归求解。

把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

f(1) = 1     // 1
f(2) = 2     // 12 21
f(3) = 5     // 123 132 213 321 231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：

如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；
如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)，根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；
如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；
如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为： f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到： f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + … + f(n-1)*f(0) = 14

上述递推公式为卡特兰数，公式如下：

$$ C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!} $$