n个元素进栈,共有多少种出栈顺序?

问题

从1到n一共n个数进入堆栈,有几种出栈顺序?

方法1

思路:用第一个元素在出栈顺序中的位置作为分割,降问题简化为子问题,递归求解。

把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出:

f(1) = 1     // 1
f(2) = 2     // 12 21
f(3) = 5     // 123 132 213 321 231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑:元素a只可能出现在1号位置,2号位置,3号位置和4号位置(很容易理解,一共就4个位置,比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析:

1) 如果元素a在1号位置,那么只可能a进栈,马上出栈,此时还剩元素b、c、d等待操作,就是子问题f(3);

2) 如果元素a在2号位置,那么一定有一个元素比a先出栈,即有f(1)种可能顺序(只能是b),还剩c、d,即f(2),     根据乘法原理,一共的顺序个数为f(1) * f(2);

3) 如果元素a在3号位置,那么一定有两个元素比1先出栈,即有f(2)种可能顺序(只能是b、c),还剩d,即f(1),根据乘法原理,一共的顺序个数为f(2) * f(1);

4) 如果元素a在4号位置,那么一定是a先进栈,最后出栈,那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解,即         f(3);结合所有情况,即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

为了规整化,我们定义f(0) = 1;于是f(4)可以重新写为:
f(4) = f(0)f(3) + f(1)f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然后我们推广到n,推广思路和n=4时完全一样,于是我们可以得到:
f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + … + f(n-1)*f(0) = 14

方法2

上述递推公式为卡特兰数,公式如下:

C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注